为了避免产生误解，我们要着重指出，“淡化”不是说概念不重要，更不是说在教学中可以忽视，而是要讲求实效，即要“淡化形式，注重实质”。 

   1．不要把概念放在最前 

   概念是认识事物到一定阶段的产物，而“传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论。教师从定义出发，介绍它的符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解，学生的任务则是模仿”，教科书和数学中“表达的思维过程与实际获得发现的过程完全相反”(张奠宙等著，《数学教育学》，第 214 页)，弗赖登塔尔称之为“违反教学法的颠倒”。在教学中不要从概念出发，要从实践出发，先要去“做”，做了再来归纳。概念的提出可以在“做”之中，也可以在“做”之后(千万不能机械地搞一刀切)。我们在教学改革实验中把这种方式简称为“先做后说”。  

   2．“概念”是人们对客观事物某方面本质属性的一种反映，是人为的，不是那样百分之百的不可变动，神圣不可侵犯 ．

   0 是不是自然数?目前出版的“近世代数”书，如贾柯勃逊著的《基本代数》，自然数系就包含 0。德国数学教学大纲也把 O归入自然数。最近有专家建议纯虚数中包含 0(路见可。数学通讯，1992 年6 期)。因此，关键是对所讨论对象的实质进行理解与掌握，不要过分地在细微处理上斤斤计较，吹毛求疵。掌握了实质，如何处理它，人们是有自由的(自由是认识的必然性)。例如，梯形与平行四边形历来是相交的。从统一的观点出发，也可以把平行四边形定义为特殊的梯形。当然不能轻易更动原来的定义，也不要拒绝合理的改变。在教学中对这些不宜过分着重，要“淡化”，使思想不致“僵化”。 

   3．不要单纯在概念本身上下工夫 

   根据认识论，人们掌握知识(包括概念)要通过实践。少年、儿童掌握概念更要靠学生自己的实践，靠学生自己动手动脑，自己去做，自己去体会。特别出现失误时所得的体会更深刻，更扎实。 

   (1) 教学中不要在讲概念处停留过久 

   在目前教学中常出现用整整一学时单纯来讲概念，对概念的文字表述字斟句酌，甚至全班朗读，要求背诵，正面和反面的例子反复讲述，重视概念可谓不遗余力。然而“教的歌儿唱不圆”，实际效果仍然欠佳，甚至为负。知识是一个整体，概念应与整个知识相结合，相适应，不要单纯在概念上下工夫，不要在此停留过久，要尽快进入实质问题，“进入角色”。 郭思乐在《数学教材的思想性原则》(《学科教育》，1991 年2期)一文中举有一个具体实例，讲正、负数从意义立即进入运算。这样正、负数、绝对值及加法运算仅用 20 分钟，学生对 之即有所领悟，能进行实际操作。这是“淡化形式”所产生的高效益。 

   (2) 概念要靠直观演示，具体操作，使学生领悟． 

    要通过学生实际去“做”，具体去“用”，形成实惠，加深领悟才能逐步掌握。电视机 是靠人们与它反复接触，反复使用它，才形成一个实的概念，用文字、语言难以明确说出。确实在概念中有些东西“只可意会，难以言传”。如有理数必须通过运算，联系实际的用，学生才能领悟有理数的概念。单纯在有理数的意义那儿花过多时间是得不偿失的。学生有了实感，有一定领悟，不会用语言文字表达，知识对他也有用。这比光会背条文，能机械地比着算，好得多。 

   4．概念要分层次，不能同等对待，平均使用力量 ．

   只是为了称呼方便，如方程、反证法等，学生了解其大意即可，不宜去研究其精确定义；有些概念虽然重要，但在初中不进入论证，又不作一般讨论，如函数、凸多边形等就不要对学生要求过多，只有进入论证经常处理的概念才是基本概念。要强化概念，先要强化论证，也就是要提高教学的理论水平。 

   5．在考试中不出单纯考概念的题 

   这是我们的看法，未必能在实际教学中实现。考试考名词术语，虽然量不多，但就迫使师生在此花了相当多的精力，效益很低，得不偿失。实际上，计算题、论证题、应用题不但直接考查了学生的技能与应用知识的能力，也间接考查了学生对概念的掌握情况。陈省身先生在北京讲流形(1980 年)，考试时，他说“当然不能考定义、定理，只能考具体问题，看你能不能把定义落实到例子上”。不考名词、术语是对教学的“解放”，也是“一纲多本” 的需要。名词、术语从各种观点、体系解释各有不同。常见的整式与多项式，有理式与分式的意义常常纠缠不清。     

   方程有三种解释：1．含有未知数的等式；2．方程是具有等式的开句(美国、香港等地区的教材)；3．方程是求指定字母的值,使已给等式成立的问题(义务教育(内地版)初中数学课本)。  

   平行线的定义在《中学数学实验教程》(北京师范大学出版社)中叙述为“同位角相等”。 

   《几何新路》(张景中著，四川教育出版社)，定义正弦函数 sin θ为：边长为 1单位，夹角为 θ的菱形面积与单位面积的比。教学大纲没有(也不可能)规定应如何定义这些名词。考试以何本为准?“不直接考概念”是事实上的需要，而“不考”才可能做到“淡化”。 

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