“数与运算”是“数与代数”领域重要的学习主题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

一、数的认识

数是对数量的抽象。数是用抽象的符号表达数量，从具体的数量到抽象的数经历了一个漫长的过程，不同的民族、不同时期用不同形式的符号表达。世界文明古国都有用符号表达数的记录。后来，人们普遍采用印度人发明的阿拉伯数字，并用十进制计数法表达自然数。十进制计数法是以十为基底，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号。采用位值制表达所有的数，如35表示3个十和5个一。自然数具有基数和序数的性质，基数表示数量的多少，序数表达顺序的先后。

用计数单位“个”“十”最多可以表示99，为了表示更大的数，需要更大的计数单位。99再多1就形成新的单位“百”，百位上的1就是100，照此类推，形成“千”“万”。在我国的计数方法中，把“万”又当作一个新的“单位一”，用来表达更大的数，“个（万）、十（万）、百（万）、千（万）”。同理，当“千万”满十个的时候，我们再次作压缩处理，把十个“千万”形成的新的计数单位“亿”当作“单位一”，又可获得一组新的计数单位“个（亿）、十（亿）、百（亿）、千（亿）”，如此等等。

分数和小数是数的认识的扩充。分数的扩充来自表达比1小的数量:需要对一个物体进行切割，整体中的“部分”用新的数来表示。把“1”平均分成2份，其中的1份就用新的符号1/2表示；同理，把“1”平均分成5份，其中的1份就用1/5表示。这样就产生了单位分数，以单位分数为基础，将其作为“分数单位”可以表达更多的分数，例如，2个1/5就是2/5，表示把“1”平均分成5份，其中的2份。小数是特殊的分数，即分母是10、100等的分数，同样表示小于1的数。小数的表达同自然数一样也是用数位（计数单位）和数字表示，以十进制的方式表达小数与自然数的表达一致，扩展了十进制计数法。

自然数、分数和小数都是对数量的抽象表达，虽然表达数量的意义不同，但数的表达方式具有一致性，都是用“数字+计数单位”的方式表示。数的抽象过程依赖现实的背景，是现实中数量的提取。反过来，抽象的数可以用来解释各种各样的具体的数量。计数单位和数字能体现数的表达的一般性，是数的认识的核心概念。作为数学教育内容的数，必须经历从现实背景抽象的过程，然后脱离现实背景建立一般性的表达，再应用于具体问题。

二、数的运算

数的运算有两个含义:一是数量关系的一种表达，如加法是表示两个数量的合并；二是对于数的计算的操作。一般将前者称为运算的意义，后者称为计算的方法。运算的意义用于分析问题和解决问题，计算的方法用于获得数运算的结果。

加法是最基本的运算，从一个数开始每次“+1”就得到一个新的数，如1+1=2，2+1=3；从任何一个数开始，加几就相当于加几个1，例如，5+3的计算就是从5开始，加3个1，得到的8就是运算的结果。减法是加法的逆运算，就是每次“-1”的操作。乘法运算是多个相同数的连加，5+5+5写成5×3，本质也是加法。除法是乘法的逆运算，本质上就是连减。因此，所有初等运算都可以归结为加的运算。具体的运算是对计数单位的操作，基本的运算是计数单位的“累加”，例如，35+48，是30（3个十）+40（4个十）+5+8。减法、乘法和除法都与加法有关，这种累加可以拓展到不同的运算。所有初等运算都是数的运算，最终都追溯到数的意义，不同的数表达方式有所不同，因此具体计算的操作也有所不同，但本质上都是对计数单位的操作。小数的十进制与自然数相同，因此整数计算方法可以直接拓展到小数计算；分数的计数单位是分数单位，虽然与整数、小数不同，但实际运算也是对计数单位的操作。

运算是一个推理的过程。在这个过程中要用到运算的意义、数的表达方式和运算律。运算律是进行初等运算的依据，主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。数的运算的教学，强调理解算理、掌握算法。算理是对运算推理过程的理解，算法是基于算理的具体运算方法。例如，14×12=14×（10+2）=14×10+14×2=140+28=100+40+20+8=168，这个过程用到了数的意义（数位上的值）和运算律（分配律、结合律等）。

数的运算的对象是整数、小数和分数，本质上具有一致性，都与数的计数单位相关。整数、小数和分数的加法都是计数单位的“累加”，一致性可以拓展到减法、乘法和除法，运算律也适用于不同数的计算。

三、数与运算的关联

    数的运算对象都是数，对算理的理解都要追溯到数的意义，因此数与运算密切关联。其实，从认识自然数开始就与运算相关，1+1是2，每个数的后继都形成一个新的数，这本身就包含运算。随着数从自然数拓展到分数和小数，运算从加拓展到减、乘、除，计算的方法越来越复杂，但基本的算理是一致的，都要与数的意义建立联系，都是对计数单位的操作，体现了数的认识与运算的整体性。