一位教师在教学“1吨有多重”的时候，安排了三个活动让学生体验；另一位教师在教学“除法”的时候，在“÷”号的引进上大费周章。对于简单的、规定性的概念有必要让学生经历、感受和体验吗？这是不少老师在看到这两则案例之后的疑惑。

一、选择的考量

小学数学中的概念，包括数概念、数量概念、几何形体概念、度量概念等。概念教学时，选择怎样的教学方式，至少和两个因素有关：

一是对概念重要程度的判断。比如，对数位、小数点的名称及读写，量及单位的名称，真分数、假分数和带分数的概念等，如果教师认为这些概念是一般重要的，在教学中自然不会浓墨重彩地去教。而考虑到小学阶段学生学习内容的整体性，以及一个概念对后续学习的意义，不同的概念的确可以有重要、次重要的区别。对不同的概念选择不同的教学方式，也是“因材施教”。

二是对概念教学空间的判断。比如，“分数”的教学，教师可以设计涂一涂、圈一圈、折一折的操作，安排不同的材料或情境供学生归纳，引导学生规范地说分数的意义，其教学展开的空间是很大的。而有的概念其展开的空间就小，加减乘除的运算符号就是一例。一般上，数学中一贯使用的语言、符号及约定俗成的内容，其教学空间相对就小一些。

这两方面的因素，前者是对学科教学内容价值的判断，后者是对教学可能性的选择。在概念教学中，这两方面的考虑是交织在一起的。对一般重要、教学空间又小的概念，教师直接告知或呈现对概念的规定，然后组织学生记忆、辨析、练习强化，我们也不会去责难其在教学法层面的欠缺。既然如此，吨的教学和“÷”的引进，直接告知即可，何苦如此费事？从学科价值及教学效率的角度看，案例中的教学都是反例。

二、教学法的意蕴

然而，事情并非如此简单！不同的教学法背后是不同的教学观念。就简单的、规定性的概念的教学，我们可以用“呈现概念-记忆概念-变式练习-巩固运用”这样的程序来教学。这样教学，简单、高效！同时，在“呈现概念”前，可以呈现生活情境或原型，比如，“角的认识”中先呈现各种生活中的“角”；在“巩固运用”中，也可以让学生举生活中的例子甚至去课外搜集生活中的素材，比如，“百分数的认识”就可以让学生举例或课后搜集。所以，即便是结果式的、告知式的教学主线，也可以有“生活化”的内容，也可以与学生的已有经验嫁接。教学，从来不是非此即彼的简单事情！

不过，这样的概念教学方式最大的缺失或许是忽视了一个事实：在历史上，任何一个概念的获得都是在面对问题、解决问题的过程中逐步归纳、总结而得到的。而学生学习概念的过程也是一个主动建构与生成的过程。结果式的教学同样可以让学生“学会”一个概念，同样可以让学生正确地解题，并在这个概念的基础上进一步地“数学化”（进行后续的学习）。然而，学生缺失的是对一个概念更丰富的、个性化的、带有情绪体验的理解。而对教师而言，对教学价值的单向度追求，有可能遗落的是更重要的、知识对学生的“育人价值”！

在这里，不是将“教学价值”和“育人价值”对立，而是将两者并举、“叩其两端”的时候，能让我们更好地把握教学中不同的侧重。所以，让学生体验“1吨有多重”，尽管是间接地体验；让学生创造表示“平均分”的符号，尽管最后还是要统一到“÷”，其教学结果看似一样，但其不同过程所带来的对学生的价值是不一样的。

学生拎过 20千克的桶装水、用自己的体重“度量”过1吨，“1吨=1000千克”就不仅仅是一个进率的问题，而是和自己的量感（拎不动）、体重（差不多40个自己）“有了关系”。学生发现这种联系，对概念的理解也就丰富了。而这种丰富的理解，即便从功利的角度看也是有益的：学生不容易做错有关重量单位的填空题了！而教师让学生用自己的方式表示“平均分”，不同学生必然会有个性化的方法，借用弗赖登塔尔的话，“学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义上的创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看是创造”。[1]学生的个性化表达，使这一看似平淡无奇的环节，有了“再创造”的光晕！我想，这样引入“÷”，引发的学生的心理感受和情绪体验肯定和直接告知是不一样的。数学一直被喻为“冷面美人”，如果学生多了解一些数学知识背后的故事，多一些这样的“再创造”，或许会觉得这个美人更容易亲近一些。正因此，我认为，在“÷”的引进上让学生“创造”符号是一种教学创新，值得喝彩！

三、另一种路径

对一个重要的、教学空间大的数学概念，我们都会倾向于做足过程，让学生去经历、感受、体验。如果教师不这么去教，我们会认为这教学是有问题的。而对一个次重要的、教学空间小的数学概念，教师创新教学，有意识地引导学生经历、感受、体验，我们也认为这教学是有问题的！值得反思的恰恰是这种想法背后的教学功利主义。

还必须指出，对学生而言，从学科价值的层面认识到一个概念的重要性是需要过程的。而概念教学常常是起始课，在起始课，教师过早、过快地直奔主题，以为重要的东西要早点聚焦，强化的可能是数学的“无用”和“枯燥”！所以，在我看来，在“认识11-20各数”中过早聚焦“10进制”，在“数对的认识”“用字母表示数”中过早地得出“方便”的结论，等等，都是可以商榷的。而对教师而言，教学空间的大小是相对的，你觉得教学空间小，是因为你还没有找到合适的方法，一旦找到，小空间就变成了“桃花源”！所以，从学科价值的重要性和教学空间大小的角度来选择教学方式，其实是相对的，而背后的教育理念恐怕是更稳定的、影响教学方式选择的因素。

抛开一个概念的重要性及教学空间大小的差异，我们应该承认，概念教学有不同的教学路径。比如，“感知材料-观察比较-归纳提炼-抽象命名”的路径[2]就适用于大部分概念的教学。再比如，对“角的认识”可以采用“发生式的”教学路径：基于“数学上为什么要定义角”“是出于解决什么问题的需要”的思考，教学时先让学生比较角的大小，然后再来认识角。3]——“发生式的”教学设计思路和弗赖登塔尔的“再创造”思路一样，都是很好的指导教学设计的工具。

对概念教学的其他路径，可能会有不同的描述，“材料-归纳式的”“发生式的”“再创造的”，或者“尝试的”“探究的”“过程式的”“生本式”的，等等。不同词语的背后体现的是另一种教学价值观，这种教学价值观更关注知识与“人”的联系，知识对个体的“意义”，更有“育人价值”。

不过，我们必须看到，要从教育理念走向教学实践是困难重重的！即便归纳出概念教学的另外一种逻辑路径，即便我们努力地探索，一到实践中就会走样。比如，对“分数”的教学，教师容易把焦点放在以下三个方面：1．注重让学生进行折一折、涂一涂、圈一圈这样的操作；2．注重为学生提供分数感知的材料和情境；3．注重让学生正确地说出分数的意义。无疑，这样的教学符合新课标理念，是目中有“人”的，但在教学落实中每一个方面却会发生偏差！[4]——我们需要警惕的是，当我们用新的方式教学时，会不会只是学了形式而丢了实质？

“教学功利主义”不是贬义词，而是一个中性词，但这种教学价值观是需要超越的。因为我们的教学对象是儿童，是经过小学六年就要走完人类上千年数学发展历程的儿童。基于学生的认知特点、对数学学科价值的再反思、对教育目的的追问，教师应该突破这种直奔主题和结果的教学功利主义，带领学生领略学习道路上更美丽多样的风景。

四、即时的选择

在《小学数学教师》“辩课”第十站中，有一堂“认识11—20各数”的研究课，在第一天的展示后，第二天上了“重建课”。下面以该课的一个教学细节为例，进一步说明笔者对概念教学的价值主张。

教学简案：

二、认识11—19的数

1.举小棒游戏

2.操作、互动，认识11—19的数

怎样摆，才能很快数出11根？

11是几个十和几个一合起来？

3.多种形式数数

现场观察：

1.教师分别报3根、7根，学生分别数出相应的小棒，紧握手中，高高举起。报10根时，很少有学生聚焦1捆。教师抓住S5.2（5.2代表第五小组第二个学生，下同）的举法，聚焦1捆。

2.在学生都举出1捆的情况下，教师PPT呈现一排小棒，很多学生直接喊出“10根”。教师用教鞭点数却是11根，追问：怎样摆，才能很快数出11根？

汇报摆法：

S6.2：我两个两个数，2、4、6、8、10,11。

T：数了6次。

S1.4：3根3根数，3、6、9、11.

T：数了4次。

S3.2：10加1。

T：是不是更快？真了不起！

在S3.2回答后，教师在PPT上展示把10根捆成1捆的过程并和学生约定：整捆的放左边，单个的放右边。（渗透位值制）

3.训练学生说：1个十和1个一是11。

在此基础上教学剩下的数，12—19。

重建设想：

首先，举小棒游戏不用。因为学生举3根、7根的时候，学生的行为只有数、抓的快慢的差异，体现不出思维的差异。同时，教师没有判断学生是举的小棒的根数是否正确，即便判断了，后续也没有展开教学的空间。而这两次抓，只是为了抓10根做铺垫。如此设计是因为教师想通过“抓”的动作来强化“10进制”。而这个动作与学生的思维，与“10进制”背后的数学思想缺乏必然的联系。

其次，3个学生摆11根小棒，分别采用了2根一摆、3根一摆、10根加1根摆三种方法，教师对此的评价有待改进。3个学生的方法体现了对进位制不同“基数”的选择，2进制的基数是2,3进制的基数是3,10进制的基数是10。三种摆法都是学生对“很快摆出11根”的“创造”，其背后的共性是：数字大了，要分段来数。这一思想和十进制的思想是相通的，有其合理性，所以，未必要急于统一到10进制。而教师的评价显然是因为今天要教10进制，所以才区别对待，行为可以理解，但这样的评价方式会强化学生对教师的依赖——猜教师的答案而不是自由、独立地思考。

最后，对3、7是抓小棒游戏，对11是摆小棒，教学环节之间缺乏有机的联系。而每一个环节对应一个教学目标的做法，是我一直反对的，借用课标2011年版的说法，教学目标要“整体实现”的，所以要重建。

基于上述考虑，给出了这样的重建建议。

改抓小棒游戏为摆小棒，摆3根、7根、11根，学生摆的时候，教师要巡视学生，同时要有一个学生在实物投影仪前，按照他自己的想法摆。这样设计是用摆小棒的活动串起原先的两个教学环节。实物投影仪的使用是为了呈现学生的思维，也是为了台下的教师看到学生的状态。教学预设的是：3根的摆法学生不会有差异，小棒放在一起或有间距地放都能一眼看出，区别不大；7根可能会有2-2-2-1、3-3-1或3-4、2-5的差异；11根肯定会出现不同的摆法。不管学生出来怎样的摆法，教师都要以鼓励的方式评价，肯定学生把一个大数分成几个小数是一种聪明的方法。这样评价，在聚焦11根的10-1的摆法时，可以这样说：小朋友们都很聪明，数学家和你们想的一样，他们选了10个一捆的方式！这样，用数学家来鼓励学生，使10进制的出现稍微自然一点，不那么突兀。

在继续教学12-19环节，我们还想到了让学生摆完11后再摆19。教师引导先确定1捆，但对个位上的9的摆法再次允许学生出现2根一、3根一摆等摆法，再次以“数较大的数要分成较小的数”的思想方法来支撑学生对进位制的理解，再次肯定学生对个位的个性化摆法，但对不先确定1捆的摆法要引导改正。摆19，先确定1捆放在左边，也有渗透位值制的考虑。进一步，在19摆过之后，让学生自由摆12-18的数，要求都是“让别人一眼就看出”，在摆的过程中反复强化先确定1捆（十进制），个位分成几部分的摆法。

以上是以摆的操作贯穿整堂课，重点落在“更自然”地引出“十进制”上，以及让学生更充分地体会“大的数要分解成小的数”这一思想上。

如果学生在“认识1-10各数”的教学中有过类似的摆小棒操作，那么这个环节就可以直接让学生摆11（或12-19中的一个数）。教师鼓励学生不同的摆法，最后还是引出数学家的选择。然后，要求学生把自己摆的数都摆成1捆加几个的方式，追问：是不是能更快地看清楚是十几了？以此引出“十进制”。

这样重建，有老师的评价是：思维含量下降了！我不同意！恰恰相反，我认为思维含量是增加了！

其实，我们就是把“十进制”告诉学生也未尝不可，反正之后的学习，不管是认识更大的数还是四则运算，都是建立在十进制基础上的。既然如此，教得快一点，更早聚焦不是更好？而我们重建的思考却在让学生感受“十进制”引入的合理性上花费这么多的精力，有必要吗？何况，最后搬出“数学家跟你们想的一样”，不还是五十步笑百步吗？对此，我只能说，细节背后是数学教育价值观。而价值观不能诉诸证明，它只是一个寻求认同的“邀请”。突然想起苏联数学家曼宁（Manin）的话：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会活动后，它才算证明。”[5]数学的证明尚且如此，何况是一个小小的细节重建！

不过，透过这个细节以及前面的长篇累牍，我想说的是：不是每个概念都要引导学生经历、感受和体验，教师要有自己的判断和选择。但在引导学生探寻、感知数学概念背后的逻辑上，在不要让学生觉得数学概念是从天而降的“怪物”上，我们是应该寸步不让地坚持的。