数学史的主题是数学的发展，我们谈论数学史，自然会首先关心“什么是数学”这个问题。    　　

    数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。我们在这里就从历史的角度来谈谈“什么是数学”这个问题。 　　

   公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术。     　　

    从公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。数学于是成为关于数与形的研究。从那时起直到17世纪，数学的对象没有本质的变化。     　　

    希腊人主要对几何感兴趣，他们也研究数，但却与他们的埃及、巴比伦前辈相反，将数放在几何形式下去考察(只有少数例外如较晚的丢番图)。尽管如此，公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德仍将数学定义为：“数学是量的科学”。其中“量”的含义是模糊的，显然不能单纯理解为“数量”。亚里士多德的定义影响绵长。直到16世纪，英国哲学家培根(F．Bacon，1561～1626)将数学分为“纯粹数学”(pure mathematics)与“混合数学”(mixed mathematics)。这里“混合数学”相当于应用数学，而培根所谓的“纯粹数学”则定义为：“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学。”    　　

    在17世纪，像笛卡儿(R．Descartes，1596～1650)这样的数学家与哲学家对数学的看法有微妙的变化，笛卡儿认为：     　　

    凡是以研究顺序(order)和度量(measure)为目的的科学都与数学有关。     　　

    恰恰是在笛卡儿的时代，数学发生了重大的转折。整个1 7、18世纪，数学家们关注的焦点是运动与变化。牛顿与莱布尼茨制定的微积分本质上是运动与变化的科学，它使科学家们能够从数学上研究行星运动、机械的运动、流体运动、动植物生长……因此，在牛顿与莱布尼茨以后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问。 
    　　

    当然，运动与变化的数学描述仍然离不开数与形。因此在19世纪恩格斯还是这样来论述数学的本质：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系。”根据恩格斯的论述，数学可以定义为：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。     　　

    然而就在恩格斯的时代，数学又开始发生本质的变化。19世纪的数学家对数学本身的兴趣空前增长。也就是说，除了现实世界的材料，他们更多地关注数学内部的需要。抽象代数、非欧几何。恩格斯这句话本身没有提及运动与变化，但在具体解释中强调了所谓“变量数学”即关于运动与变化的数学。以及严格化的分析都是这类内部需要的产物。因此，从19世纪特别是后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。这种以数学自身为目的的倾向，也就是现代意义下的纯粹数学的倾向，按照罗素的见解，是19世纪数学的主要功绩。这促使人们对数学的本质进行新的思考。在19世纪晚期，集合论的创始人康托尔(G．Cantor，1845～1918)曾经提出：     　　

    数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系。     　　

    而罗素则在20世纪初对数学下了这样一个定义：     　　

    纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟是什么，……只要我们的假定是关于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。     　　

    罗素的说法从极端的角度强调了数学的自身需要与逻辑方面，它尽管很有名，但却很难被接受为数学的客观定义。20世纪50年代，原苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：     　　

    现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学。     　　

    这一定义不再区分“数”与“形”，可以说又回到了亚里士多德对数学的最早定义中所使用过的“量”，但这个量，却被赋予了丰富的现代含义：它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切可能的空间形式与数量关系(如几何学中的高维空间、无穷维空间；代数学中的群、域；分析中的泛函、算子；……)。     　　

    从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义做符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关于“模式”(pattern)的科学：          　　

    [数学]这个领域已被称作模式的科学(science of pattern)，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。     　　

    这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式，……这些模式可以是现实的，也可以是想像的；可以是定量的，也可以是定性的。数学的这一新定义，以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与接受。